2019年北京市高考数学试卷（理科）含答案及试题解析

12．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若l⊥α，l⊥m，则m∥α　．

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【分析】由l，m是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得：

若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

13．（5分）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　﹣1　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是　（﹣∞，0]　．

【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有

【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得分析可得a的值，即可得答案；

对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x，

若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，

函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x

若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，

变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；

故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．



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